quinta-feira, 5 de junho de 2014

EQUAÇÕES DE 2º GRAU




Equações de 2º grau

Definições

   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; ab, c   IR e 
    Exemplo:
  • x- 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
  • 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.
  • 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
  • x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.
    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos ab e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;
                                                b    é sempre o coeficiente de x,
                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
  • x² - 36 = 0
    (b = 0)
  • x² - 10x = 0
    (c = 0)
  • 4x² = 0
    (b = c = 0)
Resolução de equações incompletas

   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:


   1ª Propriedade:  

   2ª Propriedade:  

   1º Caso: Equação do tipo  .
   Exemplo:
  • Determine as raízes da equação , sendo .

    SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:
                     
   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
                                                
   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
                                                
   De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .
  2º Caso: Equação do tipo 
   Exemplos:
  • Determine as raízes da equação , sendo IR.
            Solução
                        
  
    De modo geral, a equação do tipo  possui duas raízes reais se  for um número positivo, não tendo raiz real caso  seja um número negativo.


Resolução de equações completas

    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

    A partir da equação , em que a, b, c    IR , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
3º passo: adicionar aos dois membros.
4º passo: fatorar o 1º elemento.
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
6º passo: passar b para o 2º membro.
7º passo: dividir os dois membros por .
   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

   Exemplos:
  • resolução a equação: 
    Temos  
                        

FONTE: SóMatemática











ATIVIDADES



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