FUNÇÕES DE 2º GRAU

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a

0, é uma curva chamada parábola.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x	y
-3	6
-2	2
-1	0

0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zeros ou raízes da função de 2º Grau

Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a

0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

radicando

, chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são

. Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a

0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
Para x=0 , temos y = a·02 + b·0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.